Fundamentals of Structural Mechanics & Finite Element Method - APS

五维生物

2015-01-01

APS, ME

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结构力学

理论力学：质点、质点系、刚体、其运动和载荷

材料力学：单个弹性杆件，杆轴梁

结构力学：【平面体系】杆件结构体系，受力、位移

有限元法：弹性力学，复杂外力下的准确信息，求位移、应变、应力，判断Strength and Stiffness

1. 几何构造分析

1.1 结构计算简图化简

杆件
结点Joint
1. 铰接点Hinge Joint
2. 刚结点Rigid Joint
3. 组合结点
支座Support
1. 可动铰支座Roller Support
2. 固定铰支座Hinge Support
3. 定向支座
4. 固定支座Fixed Support

1.2 平面杆系结构分类

梁
拱
钢架
桁架
组合结构

静定结构：几何不变无多余联系体系
超静定结构：几何不变且有多余联系体系

1.3 载荷分类

恒载
活载
固定载荷
移动载荷
静力载荷
动力载荷
直接载荷
间接载荷【结点】
集中
分布

1.4 结构设计方法

许用应力法：Allowable Stress Method

$\sigma\le[\sigma]=\dfrac{\sigma_s}{k}$
极限状态设计法Limit-state Design Method

$\sigma=\dfrac{\sum N_i}{S}\le[f]$
- N：内力组合值
- S：构件的几何特性

1.5 几何构造分析

几何不变体系 Geometrically Stable System
- 无多余约束：平衡方程唯一解，静定结构
- 有多余约束：平衡方程无唯一解，超静定结构

几何可变体系Geometrically Unstable System
- 常变
- 瞬变
平衡方程无解
几何瞬变体系Instantaneously Changeable System

平衡方程无有限解

1.6 自由度与约束Degree of Freedom & Constraints

DOF
- 质点：s=2
- 刚片：s=3
- 地基：s=0
Constraint
- 链杆Link：j
- 单铰：2j
- 复铰：2(n-1)j
- 刚结点：3j

$W=2j-(b+r)$

j：点
b：杆
r：支座

$W=3m-(2h+r)$

m：刚片数
h：单铰数
r：单链杆数
W>0：几何可变
有多余约束：W<0

1.7 三刚片规则

三刚片
两刚片
二元体

增减二元体不变

1.8 例

2. 静定结构

2.1 单梁

截面法

求支反力
脱离体
方程 / 截面法画M图
M图转Q图

叠加法

2.2 桁架

结点法
截面法【Max3根】

2.3 对称性

3. 结构位移计算

几何法
功能法

3.1 虚功原理

功=广义位移X广义力

$W_e=W_i$

$W_e$：外力虚功之和，$W_e=P_k^\Delta_K+\sum R_K^\Delta _R$
$W_i$：内力虚功之和，$W_i=\sum\int(N_K^\varepsilon+Q_K^\gamma+M_K^*\kappa)ds$

例题

3.2 图乘法

条件
- 等直杆
- EI，EA，GA为常数
- $M_P/M_K$至少一个直线

3.3 支座位移

3.4 互等原理

功的互等
位移的互等

4. 力法

几何特征：有多余约束的几何不变体系

静力特征：仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力

构造：超静定数=多余约束个数

4.1 步骤

确定基本体系
位移条件、力法方程
单位弯矩图、荷载弯矩图【图乘】
- $\delta$：单位力、力偶结构位移计算
- $\Delta$：外力结构位移计算
系数和自由项
解方程，叠加弯矩图

$M=\bar{M}\cdot X+M_P$

4.2 例题

5. 位移法

线刚度：$i=\dfrac{EI}{l}$

5.1 步骤

位移作为未知量：原结构独立节点角位移和线位移
- 换铰法
建立基本结构

建立位移法典型方程
计算位移法系数和自由项
- 刚度系数：$r_{ij}$
- 自由项：$R_{iP}$
- 刚度方程
- 刚度矩阵
解算$Z_n$，做内力图

$M=\sum\bar{M}\cdot X+M_P$

5.2 查表

5.3 例题

5.4 力法异同

同：平衡条件和变形协调条件
异：
- 未知量
  - 力法：多余未知力
  - 位移法：独立结点位移
- 基本体系
  - 力：去约束
  - 位移：加约束
- 基本方程
  - 力：位移协调方程
  - 位移：力系平衡方程

6. 矩阵位移法

6.1 概念

单元刚度矩阵$[\bar{K^e}]$【对称】
坐标变换矩阵$[T]$
单元刚度方程

${F^e}=[K^e]{\delta^e}\{\bar{F^e}}=[T]{F^e},\quad{\bar{\delta^e}}=[T]{\delta^e}\ [K^e]=[T]^T[\bar{K^e}][T]$

6.2 步骤

编号，建坐标
单元分析
建立原始刚度方程
- $[K]$：对称、稀疏、奇异
- 直接刚度法
等效结点载荷
杆端力

$\bar{F^e}=\bar{K^e}T\Delta^e-F_{等}$
内力图

7. 平面问题的有限单元法

步骤

弹性连续体离散化
每种单元建立位移函数
虚功原理解算平衡方程，得单元刚度矩阵
得总刚度矩阵
载荷和约束
解算总刚度方程，得节点位移
计算单元应力

7.1 弹性力学基本概念

7.1.1 基本物理量

外力
- 体力
- 表面力
- 集中力

应力
- 正应力$\sigma$
- 剪应力$\tau$
- 互等

应变
- 线应变
- 剪应变
位移

7.1.2 基本假设

物体是连续的：应力、形变、位移才可能是连续的；
物体是匀质的：同一材料组成，弹性常数不随位置变化；
物体是各向同性的：弹性常数不随方向变化；
物体是完全弹性的：服从虎克定律（应变∝应力）；
位移和应变是微小的：建立平衡方程时忽略位移或应变的影响；在研究物体的位移和应变时，忽略应变的二阶微量，可以应用叠加原理。

满足前四个假定的，称为理想弹性体；如全部满足，则称为理想弹性体的线性问题。