The Design of Control Engineering Fundamentals - APS

倒立摆LQR设计 Linear Quadratic Regulator for Inverted Pendulum on a car

1. 概念

• 直线一级
• 环形
• 平面倒立摆
• 复合倒立摆

2. 实验物品

3. 设计思路

3.1 对象

小车，倒立摆

3.2 简化模型

拉格朗日方程

$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\partial T}{\partial \dot{q_j}})-\dfrac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j$

速度合成

线性化小角度简化

$cos\theta\approx1\quad sin\theta\approx0\quad \ddot{\theta}\approx0$

结果

$(ml^2+J)\ddot{\theta}-m\ddot{x}l=mgl\theta\(M+m)\ddot{x}-m\ddot{\theta}l=F-b\dot{x}$

化为状态空间方程

能控性分析：秩判据 ctrb(A,B)

能观性分析：秩判据

李雅普诺夫稳定性：lyap(A,B,C)

4. 控制算法

最优控制 LQR 线性二次控制

• 输入：$u^(t)=-K(t)x$，能控的，$u^(t)=-R^{-1}B^TPx(t)$

• 指标：

  $J=\int_0^\infty(x^T(t)Qx(t)+u^T(t)Ru(t))dt$

  

• matlab设计：$[K,P]=lqr(A,B,Q,R)$
  • $Q$：权矩阵，对输出影响，假设$Q=C^TC$
  • $R$：输入对控制影响，R=1

get a K=[]

调节，增加Q内权值，提高快速性

Noted:

$Q=\left[\begin{matrix}1&&&0\&1&&\&&10&\0&&&100\end{matrix}\right]$