Fundamentals of Control Engineering - APS
控制工程
1. 概论
1.1 工作原理
- 检测出输出量（被控制量）的实际值–测量反馈
- 将输出量的实际值与给定值（输入量）进行比较，得出偏差
- 用偏差值产生控制调节作用取消除偏差，使输出量维持期望的输出
1.2 系统的分类
- 反馈：开环系统、闭环系统
- 输入量的特征：恒值控制系统、随动系统（伺服系统）
- 传递信号：连续控制系统、离散数字控制系统
- 线性、非线性
- 定常、时变系统
1.3 基本要求：稳准快
1.4 职能方块图
2. 控制系统的动态数学模型
$f(输出量)=f(输入量)$
2.1 基本
- 数学模型建立：解析法、实验法
- 三域
- 时间域：微分方程、差分方程、状态方程
- 复数域：传递函数、结构图
- 频率域：频率特性
- 经典控制理论：传递函数
- 现代控制理论：状态空间
2.2 物理数学实例
2.2.1 质量弹簧阻尼
- M
- 弹性元件
- 线性阻尼器
$$f_i(t)-D\dot{y_0}(t)-ky_0(t)=M\ddot{y_0}(t)$$
$\rightarrow$$M\ddot{y_0}(t)+D\dot{y_0}(t)+ky_0(t)=f_i(t)$
2.2.2 电路网络
基尔霍夫定律和欧姆定律
- 电容：$u(t)=\frac{1}{C}\int i(t)dt$, $R_L=jwL$
- 电感：$u(t)=L\frac{di(t)}{dt}$, $R_C=-j\frac{1}{wC}$
$$u_i=Ri+L\frac{d}{dt}i+\frac{1}{c}\int idt$$
$$u_0=\frac{1}{C}\int i(t)dt$$
$\Rightarrow$$RC\frac{d}{dt}u_0+LC\frac{d^2}{dt^2}u_0+u_0=u_i$
2.2.3 电动机
$$i_a(t)=\frac{J}{K_T}\frac{d^2\theta_0(t)}{dt^2}+\frac{D}{K_T}\frac{d\theta_0(t)}{dt}$$
2.3 数学模型线性化：泰勒级数展开
$$f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f’(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f’’(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$$
2.4 拉氏变换
定义：
- $t<0, x(t)=0$
- $t>0, x(t)在有限个区间上分段连续$
- $\int^\infty_0x(t)e^{-\sigma t}dt<\infty, \sigma\in R^+$
$$X(s)=L[x(t)]\triangleq\int^\infty_0x(t)e^{-st}dt$$
- $X(s)$：象函数
- s：复变数，$[t]^{-1}$
- x(t)：原函数
- $\int^\infty_0e^{-st}dt$：拉普拉斯积分
2.4.1 单位阶跃$1(t)$
$$1(t)=\begin{cases}
0, & t>0\
1, & t<0
\end{cases}$$
$$L[1(t)]=\int^\infty_0e^{-st}dt=\frac{1}{s}$$
2.4.2 正余弦$sinwt\cdot1(t), coswt\cdot1(t)$
$sin\theta=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}, cos\theta=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}$
$$L[sinwt\cdot1(t)]=\frac{w}{s^2+w^2}$$
$$L[coswt\cdot1(t)]=\frac{s}{s^2+w^2}$$
2.4.3 幂函数$t^n\cdot1(t)$
$$L[t^n\cdot1(t)]=\int^\infty_0t^ne^{-st}dt=\frac{1}{S^{n+1}}\int^\infty_0u^ne^{u}du=\frac{n!}{s^{n+1}}$$
2.4.4 单位脉冲函数$\delta(t)$
$$L[\delta(t)]=\int^\infty_0\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\frac{1}{\varepsilon}e^{-st}dt=1$$
2.4.5 单位速度函数
$$L[f(t)]=\int^\infty_0te^{-st}dt=\frac{1}{s^2}$$
2.4.6 单位加速度函数
$$L[f(t)]=\int^\infty_0\frac{1}{2}t^2e^{-st}dt=\frac{1}{s^3}$$
2.5 拉式变化性质
2.5.1 叠加原理
$$L[ax_1(t)+bx_2(t)]=aX_1(s)+bX_2(s)$$
2.5.2 微分原理
$$L[\frac{d}{dt}x(t)]=sX(s)-x(0^+)$$
$L[\frac{d^n}{dt^n}x(t)]=s^nX(s)-s^{n-1}x(0^+)-s^{n-2}\dot x(0^+)-\dots-sx^{n-2}(0^+)-x^{n-1}(0^+)$
零初始条件，$\frac{d^n}{dt^n}x(t)\Leftrightarrow s^nX(s)$
2.5.3 积分定理
$$L[\int x(t)dt]=\frac{X(s)}{s}+\frac{x^{-1}(0+)}{s}$$
$L[\int\dots\int x(t)(dt)^n]=\frac{X(s)}{s^n}+\frac{x^{-1}(0^+)}{s^n}+\frac{x^{-2}(0^+)}{s^{n-1}}+\dots+\frac{x^{-n}(0^+)}{s}$
零初始条件下，$\int\dots\int x(t)(dt)^n\Leftrightarrow \frac{X(s)}{s^n}$
2.5.4 衰减定理
$$L[e^{-at}x(t)]=X(s+a)$$
2.5.5 延时定理
条件：1. 限时 2.$f(t-\tau)=0,t<\tau$
$$L[f(t-a)\cdot1(t-a)]=e^{-as}X(s)$$
2.5.6 初值定理
$$\lim\limits_{t\rightarrow0^+}x(t)=\lim\limits_{s\rightarrow\infty}X(s)$$
2.5.7 终值定理
$$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=\lim\limits_{s\rightarrow0}X(s)$$
2.5.8 卷积
$$L[f(t)*g(t)]=F(s)\cdot G(s)$$
- $f(t)*g(t)=\int^t_0f(t-\tau)g(\tau)d\tau$
2.5.9 象函数
| $x(\frac{t}{a})$ | $aX(as)$ |
|---|---|
| $tx(t)$ | $\frac{dX(s)}{ds}$ |
| $t^nx(t)$ | $(-1)^n\frac{d^nX(s)}{ds^n}$ |
| $\frac{x(t)}{t}$ | $\int^\infty_sX(s)ds$ |
| 周期函数$x(t)$ | $\frac{1}{1-e^{-sT}}\int^T_0x(t)e^{-st}dt$ |
2.6 拉式反变换
$$x(t)=L^{-1}[x(s)]=\frac{1}{2\pi j}\int^{a+j\infty}_{a-j\infty}X(s)e^{st}ds$$
2.7 传递函数
定义：零初始条件下，线性定常系统输出象函数$X_o(s)$与输入象函数$X_i(s)$之比
$$\begin{eqnarray}G(s)
&=&\frac{X_0(s)}{X_i(s)}\
&=&\frac{b_0s^m+b_qs^{m-1}+\dots+b_m}{a_0s^n+a_1s^{n-1}+\dots+a_n}\
&=&\frac{b_0(s-z_1)(s-z_2)\dots(s-z_m)}{a_0(s-p_1)(s-p_2)\dots(s-p_n)}
\end{eqnarray}$$
- $N(s)=b_0s^m+b_qs^{m-1}+\dots+b_m$
- 特征多项式$D(s)=a_0s^n+a_1s^{n-1}+\dots+a_n$
- $N(s)=0$，根为零点
- $D(s)=0$，根为极点，也是系统特征根
2.8 典型环节
| 比例 | 微分 | 一阶微分 | 二阶微分 |
|---|---|---|---|
| $K$ | $s$ | $\tau s+1$ | $\tau^2s^2+2\xi\tau s+1$ |
| 积分 | 惯性 | 振荡 | 延迟 |
| $\dfrac{1}{s}$ | $\dfrac{1}{Ts+1}$ | $\dfrac{1}{T^2s^2+2\xi Ts+1}$ | $e^{-\tau s}$ |
2.9 方块图
2.10 变换法则
2.11 信号流图和梅逊公式
梅逊公式
$$P=\frac{1}{\Delta}\sum_kP_k\Delta_k$$
- $\Delta$：特征式，$=1-\sum_a L_a+\sum_{b,c}L_bL_c-\sum_{d,e,f}L_dL_eL_f$
- $\sum L_a$：所以不同回路传函积
- $\sum L_bL_c$：2互不接触回路传函积之和
- $\sum L_dL_eL_f$：3互不接触回路传函积之和
- $P_k$：第k条前向通路传函
- $\Delta_k$：第k条前向通路特征式余因子，$\Delta(L_{k接触}=0)$
- $\Delta$：特征式，$=1-\sum_a L_a+\sum_{b,c}L_bL_c-\sum_{d,e,f}L_dL_eL_f$
例题：
2.12 基本公式
2.13 例题
3. 时域频域瞬态响应分析
3.1 概念
- 瞬态响应：系统在某一输入信号作用下其输出量从初始状态到稳定状态的相应过程
- 稳态响应：当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态
- 稳态：静态
- 瞬态响应：过渡过程
3.2 基本环节瞬态
3.3 一阶系统瞬态响应：比例+积分
$$\dfrac{x_o(s)}{x_i(s)}=\dfrac{1}{Ts+1}$$
单位阶跃：$x_o(t)=(1-e^{\dfrac{1}{T}t}\cdot1(t))$
- 系统稳定无振荡
- 惯性环节时间常数T：至0.623时间
- 调整时间$(3\sim4)T$：至稳态值$95\%\sim98\%$
- $t=0$ ，斜率$\frac{1}{T}$
单位斜坡：$x_o(t)=(t-T+Te^{-\frac{1}{T}t})\cdot1(t)$
单位脉冲：$x_o(t)=\frac{1}{T}e^{-\frac{1}{T}t}\cdot1(t)$
3.4 二阶系统瞬态响应
$$\dfrac{x_o(s)}{x_i(s)}=\dfrac{1}{T^2s^2+2\xi Ts+1}=\dfrac{w_n^2}{s^2+2\xi w_n+w_n^2}$$
欠阻尼
$$\dfrac{X_o(s)}{X_i(s)}=\dfrac{w_n^2}{(s+\xi w_n+jw_d)(s+\xi w_n-jw_d)}$$
阻尼自振角频率：$w_d=w_n\sqrt{1-\xi^2}$
$\theta=arccos\xi=arctan\dfrac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi}$
$$x_o(t)=[1-\dfrac{e^{-\xi w_nt}}{\sqrt{1-\xi^2}}sin(w_dt+arctan\dfrac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi})]\cdot1(t)$$
临界、过阻尼、零阻尼、负阻尼
3.5 二阶系统单位脉冲响应
$0<\xi<1$，负阻尼，以$W_a$为角频率的衰减振荡，随$\xi\downarrow$，振荡幅度$\uparrow$
$\xi=1, \xi>1$
3.6 斜坡响应
3.7 时域分析性能指标
- 【快】上升时间$t_r$：0.1-0.9所需时间，$x_o(t_r)=1\Rightarrow t_r=\frac{1}{w_n\sqrt{1-\xi^2}}(\pi-arccos\xi)$
【快】峰值时间$t_p$：$\frac{dx_o(t)}{dt}=0\Rightarrow负阻尼t_p=\frac{\pi}{w_d}=\frac{\pi}{w_n\sqrt{1-\xi^2}}$，与$t_r$相差$\theta$
【稳】最大超调量$M_p=x_o(t_p)-1=e^{-\dfrac{\xi\pi}{\sqrt{1-\xi^2}}}$
- 【快】延迟时间$t_s$：负阻尼，包络线$F(t)=1\pm\dfrac{e^{-\xi w_nt}}{\sqrt{1-\xi^2}}$
- $\pm5\%$：$t_s\approx\frac{-In0.05}{\xi w_n}\approx\frac{3}{\xi w_n}$
- $\pm2\%$：$t_s\approx\frac{-In0.02}{\xi w_n}\approx\frac{4}{\xi w_n}$
- 【快】延迟时间$t_d$：至0.5时间
- 【稳】振荡次数：$t_s$内次数
当$\xi$一定：
- 快：$w_n\uparrow, t_s\downarrow$，$w_n$越大越好
- 稳：$t_s=min, \xi=0.707$
3.8 例题
4. 控制系统频率特性
4.1 三种变化关系
| 傅里叶变换 | 拉氏变换 | |||
|---|---|---|---|---|
| $\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-jwt}dt$ | $\int^{+\infty}_0f(x)e^{-st}dt$ | $s=\sigma+jw$ | ||
| $\begin{eqnarray}X_0(s)&=&G(s)\cdot X_i(s)\&=&G(s)\frac{Aw}{s^2+w^2}\&=&\frac{k_1}{s-s_p}+\frac{k_1s+k_2}{(s-jw)(s+jw)}\end{eqnarray}$ | $x_0(t)=A | G(jw) | sin(wt+\varphi)$ | 相角$\angle G(jw)$ |
4.2 频率特性
- 幅频特性$|G(jw)|$
- 相频特性$\angle G(jw)$
- 频率特性：$G(jw)=\sigma+jw$
- $\sigma$：实频特性
- $w$：虚频特性
- 不能用终值定理
4.3 极坐标图、Nyquist曲线
| $k$ | $G(jw)=k$ | $A=k\\angle=0^\circ$ |  |
|---|---|---|---|
| $\frac{1}{s}$ | $G(jw)=\frac{1}{jw}$ | $A=\frac{1}{w}\\angle=-90^\circ$ |  |
| $s$ | $G(jw)=jw$ | $A=w\\angle=90^\circ$ |  |
| $Ts+1$ | $G(jw)=Tjw+1$ | $A=\sqrt{1+T^2w^2}\\angle=arctan(Tw)$ |  |
| $\frac{1}{Ts+1}$ | $G(jw)=\frac{1}{Tjw+1}$ | $A=\frac{1}{\sqrt{T^2w^2+1}}\\angle=-arctan(Tw)$ |  |
| $Ts^2+2\xi Ts+1$ | $G(jw)=1-T^2w^2+2\xi T wj$ | $A=\sqrt{(1-\xi^2w^2)^2+(2\xi Tw)^2}\\angle=arc\frac{2\xi Tw}{1-T^2w^2}$ |  |
| $\frac{1}{Ts^2+2\xi Ts+1}$ | $G(jw)=\frac{1}{1-T^2w^2+2\xi Twj}$ | $A=\frac{1}{\sqrt{(1-T^2w^2)^2+(2\xi Tw)^2}}\\angle=\begin{cases}-arctan\frac{2\xi Tw}{1-T^2w^2}, &w\le\frac{1}{T}\-\pi-arctan\frac{2\xi Tw}{1-T^2w^2}, &w>\frac{1}{T}\end{cases}$ |  |
| $e^{-Ts}$ | $G(jw)=e^{-jwT}$ | $A=1\\angle=-wT$ |  |
- 作图步骤
$|G(jw)|=$：相乘
$\angle G(jw)=$：相加
$w=0 \& w=+\infty, G(jw)$，起始：$\frac{1}{s}$相角，终点：分母阶次
与实轴交点$Im(G(jw))=0, \angle G(jw)=n\cdot 180^\circ$
与虚轴交点$Re(G(jw))=0, \angle G(jw)=n\cdot 90^\circ$
多点
4.4 Bode图、对数坐标图
- 作图步骤
- 幅频：
- 低频$\rightarrow k\cdot\frac{1}{s}, 20lgk-\lambda20lgjw$
- $w=\frac{1}{T}$之后叠加条件
- 修正过0dB
- 相频：
- $k, s, \frac{1}{s}$先不管
- 叠加相角max
- 修正$-\pi$转交频率
- 幅频：
4.5 最小相位系统
4.6 频域指标
开环：
- 【快】$w_c$：开环剪切频率rad/s，$|G|=1$
闭环
- $W_r$：谐振角频率
- 【稳】$M_r$：谐振峰值，$M_r=|G(jwr)|=\frac{\frac{1}{k}}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$
- $w_m$：复现频率，允许误差显得最高频率
- $0\sim w_m$：复现带宽
- 【快】$W_b$：闭环截止频率
- $0\sim w_b$：系统带宽
- $w_r=w_n\sqrt{1-2\xi^2}, 0\le\xi\le0.707$：
开闭环频域特性
低频$|G|>>1, |\frac{x_0(jw)}{x_i(jw)}\approx1$
高频$|G|<<1, |\frac{x_0}{x_i}\approx|G(jw)|$
4.7 M圆
4.8 动刚度
4.9 例题
5. 稳定性分析
5.1 概念
- 稳定分类：
- 稳定
- 临界稳定：等幅振荡/恒定偏差
- 不稳定
- 充要条件：特征根实部为负
5.2 劳斯判据（闭环）
$$\begin{cases}
\frac{X_0(s)}{N(s)}&=&
\frac{b_0s^m+b_qs^{m-1}+\dots+b_m}{a_0s^n+a_1s^{n-1}+\dots+a_n}\
N(s)&=&a_0(s-s_1)(s-s_2)\dots(s-s_n)
\end{cases}$$
- 条件：
- $a_i\ne0$
- 临界稳定：虚轴
- 不稳定：实部为+
- $a_i$符号相同
- $a_i\ne0$
$b_1=0$，设$b_1=\varepsilon>0$，很小，判断$\varepsilon\rightarrow0$，第一列是否为+
- 是，临界稳定
- 否，不稳定
n行全0，n-1行辅助方程$A(s)=s^{n-1}+a/bs^{n-3}+\dots+a/b$
解$\frac{dA(s)}{ds}$的共轭虚根
坐标变换，$s_1=s-(-a)$，带入特征方程
5.3 赫尔维兹判据
- 劳斯判据和赫尔维兹判据
- 必须传递函数
- 定性
- 延迟环节无能
5.4 奈奎斯特判据（闭环）
$$F(s)=K\dfrac{\Pi^m_{i=1}(s-z_i)}{\Pi^n_{j=1}(s-p_j)}, n\ge m$$
上零点，下极点
充要条件：$F(s)=1+G(s)H(s)=0$，其零点为$\frac{X_o(s)}{X_i(s)}$极点，特征根全部有负实部
D曲线：
闭环稳定$\Leftrightarrow$开环乃氏图逆时针包围(-1,j0)的圈数=开环右极点个数
$Z=P-N$
- $Z=0$：稳定
- $Z>0$：不稳
- $P$：开环右极点数，$p_j>0$的个数
- $N$：逆时针包围圈数
半平面$Z_+=P-2N_1$
- $N_1$：一半乃氏图
辅助线
延时稳定性
5.5 Bode图稳定性判定
- $Z_+=P-2N_1$
$L(w)\ge0$
$N_1=正负穿越之差$
5.6 相对稳定
- 相位裕量$\gamma$
- $\gamma=180^\circ+\phi(w_c)$
- $w_c$：幅值穿越频率
- $\gamma=180^\circ+\phi(w_c)$
- 幅值裕量$K_g$
- $K_g=|\frac{1}{G(jw_g)}|$
- $w_g$：相位穿越频率
- $K_g=|\frac{1}{G(jw_g)}|$
- 稳定：$\gamma>0, K_g>1$，越大越稳
5.7 例题
6. 误差分析计算
6.1 稳态误差
- 输入
- 干扰
- 稳：前提
- 准：$\leftarrow G(s)\leftarrow\varepsilon(s)$随$x_i(t)$变化但不影响
6.2 偏差$\varepsilon(t)$和误差$e(t)$
偏差$\varepsilon(t)$：输入信号与反馈信号比较的信号
误差$e(t)$：理想输出与实际输出之差
$$\begin{eqnarray}
E(s)&=&\mu(s)X_i(s)-X_o(s)\
\varepsilon(s)&=&X_i(s)-Y(s)\end{eqnarray}$$
6.3 分析步骤
- 稳定性判断$\rightarrow$中值定理
- 极限：$e_{ss}=\lim_\limits{t\rightarrow\infty}e(t)$【稳态误差/静态误差】
- $\rightarrow E(s)$
6.4 稳态误差、稳态偏差
单反馈：$E(s)=\frac{1}{1+G(s)}X_i(s), e_{ss}=\lim_\limits{s\rightarrow0}sE(s)$
非单：$$\varepsilon(s)=\frac{1}{1+G(s)H(s)}X_i(s), e_{ss}=\frac{\varepsilon_{ss}}{H}$$
6.5 静态误差系数
6.6 干扰
6.7 减小误差
- 反馈通道精度，传感器
- 输入：放大$k\uparrow, v\downarrow$
- 干扰+积分器，$k\uparrow$
- 顺馈
6.8 前馈、顺馈、全跟踪、内模
6.9 动态误差系数
6.10 例题
7. 控制系统的综合校正
7.1 指标
| 时域指标 | ||
|---|---|---|
| $M_p$ | 相对稳定性 | 最大超调量（百分比） |
| $t_s$ | 快速性 | 调整时间 |
| $t_p$ | 峰值时间 | |
| 开环频域指标 | ||
| 先画图 | ||
| $w_c$ | 开环剪切频率 | 快速性 |
| $\gamma$ | 相位裕量 | 相对稳定性 |
| $K_g$ | 幅值裕量 | 相对稳定性 |
| $K_p$ | 静态位置误差系数 | 准确性 |
| $K_v$ | 静态速度误差系数 | 准确性 |
| $K_a$ | 静态加速度误差系数 | 准确性 |
| 闭环频域指标 | ||
| $w_r$ | 谐振角频率 | |
| $M_r$ | 相对谐振峰值 | $M_r=\frac{A_{max}}{A(0)}$ |
| $w_m$ | 复现频率 | |
| $w_b$ | 闭环截止频率 | |
| 综合性能指标 | ||
| $I=\int^\infty_0e(t)dt$ | 误差积分性能指标（无超调） |  |
| $I=\int^\infty_0e^2dt$ | 误差平方积分性能指标（振荡） |  |
7.2 校正（补偿、调节）
定义：给系统附加一些具有典型环节特性的电网络、运算部件或测量装置
7.2.1 串联校正
超前
滞后
超前滞后
7.2.2 PID调节（比例-积分-微分控制器）
- 原理简单
- 适应性强
- 鲁棒性强
| P | $G(s)=K_p$ | $K_p\uparrow, 偏差\downarrow, 稳定性\downarrow$ |
|---|---|---|
 |
$sin\psi=\lvert\dfrac{\frac{M_r}{M_r^2-1}}{\frac{M_r^2}{M_r^2-1}}\rvert=\frac{1}{M_r}$ | $M_r=\frac{1}{2\xi\sqrt{1-2\xi^2}}$ |
| I | $G(s)=\frac{K_I}{s}$ | 无差调节 |
| D | $G(s)=K_Ds$ | 变化趋势来调节 |
| PID | $G(s)=K_p+\frac{K_I}{s}+K_Ds$ |  |
| PI | P：快速抵消干扰 | I：消除稳态误差 |
| PD | 提高稳定性，减小短期最大偏差，提高快速性 |
PID确定法
- 经验法
齐格勒-尼柯尔斯法
7.2.3 反馈矫正
7.3 频率法
