Engineering Thermodynamics and Heat Transfer - APS
热工基础
1. 基本概念和定义
1.1 机械能
物体的动能与势能
1.2 热能
物质分子运动，动能与位能之和，即不涉及到化学变化和核反应的热力学能：内热能
1.3 热机工作
热能 $\rightarrow$ 机械能
1.4 工质
实现热能和机械能相互转换的媒介物质（气态）
1.5 热源
工质从中吸取或向之排出热能的物质系统
1.6 热力系统
人为分割出来，作为热力学研究对象的有限物质系统（外界、内界）
- 闭口：有Q无M（控制质量CM）
- 开口：有Q有M（控制体积CV）
- 绝热：无Q可有M
- 孤立：无Q无M
1.7 热力状态
力平衡、热平衡、热力平衡=平衡状态=热平衡+力平衡
1.8 状态参数
P、T、V、U、H、S，
$$\oint dZ=0$$
$$\int_{1a2}dz=\int_{1b2}dz$$
强度量$\notin$物质的量：T、P
广延量$\propto$物质的量：V、U、H、S
其比性质有强度特性，例：$\upsilon$比体积
1.9 状态参数图
- 温度作为热平衡的一个依据
1.10 热力学第0定律（测温基础）
A与C热平衡，B与C热平衡，则A与B热平衡
1.11 热力学温标
2731.16K$\rightarrow$273.15=0$\circ$C，温度的数值表示法
1.12 压力 Pa
1 Pa=1 N/m2, 1 at=98066.5 Pa, 1 mmH2O=9.80615 Pa, 1 atm= 101325 Pa, 1 bar= 1e5 Pa, 1 mmHg=133.3224 Pa
1.13 绝对压力P，当地大气压Pb，表压力Pe，真空度Pv
P1=Pb+Pe, P2=Pb-Pv
1.14 比体积（工质）$\upsilon$
$\upsilon=\frac{V}{m}$ ，$\rho=\frac{1}{\upsilon}$ （m3/Kg）
1.15 标准状态
P0=101325 Pa, T0=0 C=273.15 K
1.16 理想气体
弹性不占体积，分子之间无作用力（引力、斥力）
1.17 理想气体状态方程（克拉贝龙方程）
$PV=R_gT$
- P : Pa
- V: m3/Kg
- $R_g$: 气体常数，J/(Kg K)，只与种类有关
- T：K
$\Downarrow$
$pMv=MR_gT$
$pV_m=RT$：$V_m$
- $V_m=Mv$：摩尔体积，m3/mol
- $R=MR_g$：摩尔气体常数，J/(mol K)，标准状态下：8.3145 J/mol
1.18 准静态
一系列非常接近平衡态的状态组成
热力过程：工质从某一状态过渡到另一状态所经历的全部状态变化
可逆过程：运动无摩擦，传热无温差的准平衡过程，=准静+无耗散
正反两个过程，系统与外界均能完全回复到初始状态
1.19 膨胀功（容积功）$W$
对外界做功+，外界对系统做功-
由于系统工质容积发生变化而传递的机械功
容积变化$\Leftrightarrow$做膨胀功
1.20 轴功$W_s$
机械轴与外界传递的机械功，刚性闭口系统不能对外输出轴功，输出+，输入-
1.21 热量$Q$
与过程有关
1.22 热力循环
$\mu=\frac{收益}{代价}$（实线为可逆，虚线不可）
| 循环 | 别称 | 循环图 | 表达式 | 热循环图 |
|---|---|---|---|---|
| 正循环动力循环 | 内燃机燃气轮 |  |
循环热效率=$\frac{功}{吸热}$$$\mu_t=\frac{W_0}{Q_1}$$$$=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}$$$$=1-\frac{Q_2}{Q_1}<1$$ |  |
| 逆循环 | 制冷 | |
制冷系数$$\epsilon_1=\frac{Q_2}{W_0}=\frac{Q_2}{Q_1-Q_2}$$ |  |
| 热泵 | 供暖系数 $$\epsilon_2=\frac{Q_1}{W_0}=\frac{Q_1}{Q_1-Q_2}$$ |  |
1.23 热力学能$U$
总能： $E=U+E_k+E_p$
$$e=u+\frac{c^2}{2}+gz$$
1.24 闭口系统能量方程
$q=w+du$， J/kg
$$取热=膨胀功+热力学能变化$$
1.25 流动功（推动功）$W_f$
- 工质进出控制体界面时，后面流体推开前面流体前进，因工质出入开口系统而传递的功
- 系统引进或排除工质而传递的功率
- 维持流动花费的代价
$W_f=P_2V_2-P_1V_1$
1.26 开口系统能量方程
$dQ=dU+\delta W$
其中，(1)为
$\delta Q=(U_2+P_2V_2+\frac{1}{2}c^2_2+gz_2)\delta m_2-(U_1+P_1V_1+\frac{1}{2}c^2_1+gz_1)\delta m_1$
1.27 焓H
$H=U+PV$, $h=u+pv$, J/kg，状参
理想气体：$h=u+pv=u+RT=f(T)$
因而1.26(1)变为(2)：
1.28 开口系统稳态稳流能量方程
稳态定义：状参、宏观运动参数一定
- $\delta m_1=\delta m_2\dots=\delta m$
- $dE_{cv}=0$
(2)变为(3)
$q=(h_2-h_1)+\frac{1}{2}(c^2_2-c^2_1)+g(z_2-z_1)+w_s$
1.29 技术功
技术功=膨胀功+流动功：$w_t=q-\Delta h=w+p_1v_1+p_2v_2$
可逆：$\delta w_t=-vdp$
1.30 理想气体焓变
- 定压：$\Delta h=\int_1^2 c_pdT$
- 定制定压比热容：$\Delta h=c_p(T_2-T_1)$
- 平均定压比热容：$\Delta h=c_{pm}|_0^{t_2}t_2-c_{pm}|^{t_1}_0t_1$
1.31 稳态稳流应用
$$q=\Delta h +\frac{1}{2}\Delta c^2 +g\Delta z+w_s$$
| 动力机、汽轮机 |  |
$g\Delta z\approx 0$, $\frac{1}{2}\Delta c^2\approx 0$, $q\approx 0$ | $$w_s=h_1-h_2 $$ |
|---|---|---|---|
| 压气机 | $g\Delta z\approx 0$, $\frac{1}{2}\Delta c^2\approx 0$$, $$q\approx 0$ | $$-w_s=h_1-h_2$$ | |
| 热交换机、锅炉 |  |
$$w_s=0$$, $$g\Delta z\approx 0$$, $$\frac{1}{2}\Delta c^2\approx 0$$ | $$q=h_1-h_2$$ |
| 喷管 |  |
$$w_s=0$$, $$g\Delta z\approx 0$$ | $$\frac{1}{2}(c^2_2-c^2_1)=h_1-h_2$$ |
1.32 热功异同
均边界传能
过程量
压力差->功传递，比体积改变
误差->热传递， 比熵变
功：宏观相互作用
热：紊乱的微粒运动相互作用
功无条件变热，热有条件有限度变功
1.33 管内绝热流动
1.34 绝热滞止
2. 热一律和热二率
2.1 热二率
- 自发过程不可逆
- 逆过程有补偿过程
表述：
Clausius: 不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化
Kelvin-Plank：不可能制造只从一个热源取热使之完全变成机械能，而不引起其他变化的循环发动机(第二类永动机)
2.2 卡诺循环
循环热效率：$\mu_t=\frac{w_0}{q_1}=1-\frac{q_2}{q_1}$， 一切工质，任意循环
卡诺循环热效率：$\mu_{tc}=1-\frac{T_2}{T_1}$，卡诺循环，任意工质
2.3 逆卡诺循环
制冷循环：
$\epsilon_{1,c}=\frac{T_2}{T_1-T_2}=\frac{q_2}{q_1-q_2}$
热泵循环：
$\epsilon_{2,c}=\frac{T_1}{T_1-T_2}=\frac{q_1}{q_1-q_2}$
2.4 卡诺定理
工作于同温热源与同温冷源的所有热机，以可逆热机的热效率最高
- 可逆热机效率仅与$T_1,T_2$有关
- $$T_1,T_2$$下，$$\mu_{不可逆}<\mu_{可逆}$$
2.5 熵
$$\oint(\frac{\delta q}{T})_{irr}\le\oint ds<0$$
2.6 熵方程
流入系统的熵-流出系统的熵+熵产=系统熵增
定义
$$ds=\frac{\delta q’}{T}+\frac{delta w- \delta w’}{T}=\delta s_f+\delta s_g$$
- 熵流（吸+）：$$\delta s_f=\frac{\delta q’}{T}$$
- 熵产（非负，可逆0）：$$\delta s_g=\frac{\delta w-\delta w’}{T}$$
2.6.1 闭口系统
$$d s_{sys}=\delta s_f+\delta s_g$$
2.6.2 开口
$$dS_cv=(s_1\delta \dot{m_1}-s_2\delta \dot{m_2})+\delta s_f+\delta s_g$$
2.6.3 稳态稳流
$$s_f+s_g+(s_1-s_2)=0$$
2.6.4 孤立系统
$$\Delta s_{iso}=s_g\ge0$$， 可逆为0
熵增原理
#
3. 热力性质
3.1 比热容
$$c=\frac{\delta q}{dT}$$
- 质量比热容$c$：kJ/kg/K
- 体积比热容$c’$：kJ/N/m3/K，$$c’=\frac{M_c}{22.4}=c\rho_0$$
- 摩尔比热容$M_c/C_M$：kJ/kmol/K
3.2 定容比热容$c_v$、定压比热容$c_p$
$$c_v=\frac{\delta q}{dT} 理想气体\Rightarrow =\frac{du}{dT}$$
$$c_p=\frac{\delta q_p}{dT}=\frac{dh}{dT}$$
梅耶公式：$$c_p-c_v=R_g$$，$$C_{p,m}-C_{v,m}=MR_g=R$$
气体常数：$$R_g=\frac{R}{M}$$
通用气体常数：$$R=8.314 J/(mol k)$$
3.3 定值比热容$C_{v,m}$,$C_{p,m}$
| 单原子 | 双原子 | 多原子 | ||
|---|---|---|---|---|
| 摩尔定容比热容 | $C_{v,m}=\frac{i}{2}R$ | $\frac{3}{2}R$ | $\frac{5}{2}R$ | $\frac{7}{2}R$ |
| 摩尔定压比热容 | $C_{p,m}=\frac{i+2}{2}R$ | $\frac{5}{2}R$ | $\frac{7}{2}R$ | $\frac{9}{2}R$ |
| 比热容比、绝热指数 | $\kappa=\frac{c_p}{c_v}$ | 1.66 | 1.4 | 1.29 |
3.4 真实比热容
3.5 平均比热容
3.6 理想气体热力学能、焓、熵
$$\Delta h= c_p(T_2-T_1)$$
$$\Delta u=c_v(T_2-T_1)$$
$$\Delta s_{1-2}=c_vIn\frac{T_2}{T_1}+R_gIn\frac{v_2}{v_1}$$
$$\Delta s_{1-2}=c_pIn\frac{T_2}{T_1}-R_gIn\frac{p_2}{p_1}$$
$$\Delta s_{1-2}=c_vIn\frac{p_2}{p_1}+c_pIn\frac{v_2}{v_1}$$
4. 水蒸气
4.1 三相点
t=273.16 K=0.01 度
4.2 水蒸气定压过程
规定三相内饱和水的热力学能和熵为0
4.3 汽化潜热
饱和状态下，1kg饱和液体全部转变为同温度的干饱和蒸气所吸收的热量
4.4 q计算
| 预热 | $q_l=h’-h_0\approx c_p(t_s-t)$ |
|---|---|
| 汽化 | $r=h’’-h’$ |
| 过热 | $q_{sup}=h-h’’$ |
| 总 | $q=q_L+r+q_{sup}=h-h_0$ |
4.5 u、s计算
$$v_x=xv’’+(1-x)v’=v’+(v’’-v’)x$$
$$u_x=xh’’+(1-x)h’=h’+xr$$
$$u_x=hx+pv_x$$
$$s_x=xs’’+(1-x)s’=s’+x(s’’-s’)$$
4.6 混合气体
$R_{g,eq}$ 平均气体常数 $=\frac{R}{M_{eq}}$
$M_{eq}$ 平均气体常数 $=\frac{\sum m_i}{\sum n_i}=\sum x_iM_i$
$\Delta u=c_v|^{t_2}_{t_1}(t_2-t_1)$
$\Delta h=c_p|^{t_2}_{t_1}(t_2-t_1)$
同 T，V，$p_i=\frac{n_iRT}{V}$， $p=\sum p_i$
同P，V，$v=\sum v_i$
$w_i=\frac{m_i}{m}, \sum w_i=1$
$$c=\sum c_iw_i$$$$u=\sum u_iw_i$$
$$h=\sum h_iw_i$$
$$s=\sum s_iw_i$$
比熵变 $ds=\sum w_ic_{pi}\frac{dT}{T}-\sum w_i R_{gi}\frac{dp_i}{p_i}$
体积分数 $\varphi_i=\frac{v_i}{v},\sum \varphi_i =1$
摩尔分数 $x_i=\frac{n_i}{n}, \sum x_i=1$
$\varphi_i=w_i\frac{R_{gi}}{R_{g,eq}}$
$\varphi_i=x_i$
$\frac{p_i}{p}=\frac{v_i}{v}=\varphi_i=x_i$
5. 热力过程
5.1 多变过程
$pv^n=C$
| n=0 | $p=c$ | 定压 |
|---|---|---|
| n=1 | $pv=C=nRT$ | 定温 |
| $n=\kappa$ | $pv^\kappa=C$ | 定熵 |
| $n=\pm\infty$ | v=C | 定容 |
绝热
$\delta q=d u+pdv=c_vdT+pdv=0$
$\delta q=du-vdp=c_pdT-cdp=0$
$\kappa \frac{dv}{v}+\frac{dp}{p}=0$
$n=\frac{InP_2-InP_1}{InV_1-InV_2}$
定容
$1^{\frac{1}{n}}v=c^{\frac{1}{n}}$
5.2 P-V，T-S
5.3 多变下的u, h, s, c, w, wt,q
| 多变 | $n=\infty$ | n=0 | n=1 | $n=\kappa$ | n |
|---|---|---|---|---|---|
| $\Delta u$ | $c_v(t_2-t_1)$ | |
0 | |
|
| $\Delta h$ | $c_p(t_2-t_1)$ | |
0 | |
|
| $\Delta s$ | $c_vIn\frac{T_2}{T_1}$ | $c_pIn\frac{T_2}{T_1}$ | $\frac{q}{T}$, $R_gIn\frac{v_2}{v_1}$, $R_gIn\frac{p_1}{p_2}$ | 0 | 三式 |
| c | $c_v=\frac{R_g}{\kappa^{-1}}$ | $c_p=\frac{\kappa R_g}{\kappa^{-1}}$ | $\infty$ | 0 | $\frac{n-\kappa}{n-1}c_v$ |
| 过程功$w=\int_1^2pdv$ | 0 | $p(v_2-v_1)$,$R_g(T_2-T_1)$ | $R_gTIn\frac{v_2}{v_1}$, $R_gIn\frac{p_1}{p_2}$ | $-\Delta u$, $\frac{R_s}{\kappa-a}(T_1-T_2)$ | $\frac{R_g}{n-1}(T_1-T_2)$, $\frac{R_gT_1}{n-1}[1-(\frac{p_2}{p_1})^{\frac{n-1}{n}}]$ |
| 技术功$w_t=\int_1^2vdp$ | $v(p_1-p_2)$ | 0 | $w_t=w$ | $-\Delta h$, $\frac{\kappa R_g}{\kappa-1}(T_1-T_2)$, $w_t=\kappa w$ | $\frac{nR_g}{n-1}(T_1-T_2)$, $nw$ |
| q | $\Delta u$ | $\Delta h$ | $w_t=w=T(s_2-s_1)$ | 0 | $\frac{n-\kappa}{n-1}c_v(T_2-T_1)$ |
5.4 压气机
活塞式、叶轮式、引射式压缩器
5.4.1 单级
$$w_{s,n}=-\int_1^{2n}=\frac{n}{n-1}p_1v_1[1-(\frac{p_2}{p_1})^{\frac{n-1}{n}}]=\frac{n}{n-1}mR(T_1-T_2)$$
5.4.2 余隙
- 容积效率：$\mu_v=\frac{v_1-v_4}{v_1-v_3}=1-\sigma[(\pi^{\frac{1}{n}}-1]$
- 余隙容积比：$\sigma=\frac{v_3}{v_1-v_3}$
- 压力比：$\pi=\frac{p_2}{p_1}$
$\pi\uparrow, \quad\mu_v\downarrow$
5.4.3 多级压缩，级间冷却
$T_{2’}=T_1$
$$w_s=\frac{n}{n-1}p_1v_1[2-(\frac{p_2}{p_1})^{\frac{n-1}{n}}-(\frac{p_3}{p_2})^{\frac{n-1}{n}}]$$
求导$\frac{dw_s}{dp_2}=0$，所需轴功最小
$$p_w=\sqrt{p_2p_3}\Rightarrow\beta_1=\frac{p_2}{p_3}=\beta_2=\frac{p_3}{p_2}$$
$$\beta_1\beta_2=\beta^2=\frac{p_3}{p_1}$$
$\downarrow$类推
$$\beta=^z\sqrt{\frac{p_z}{p_1}}$$
- 升压比：$\beta$
- 特点：
- 各级气缸排气温度相等：$T_2=T_3$
- 各级耗轴功相等：$w_s=zw_{s1}$
- 每级向外放热相等
- 提高容积效率
5.4.4 压气机效率
$$\mu_{c,T}=\frac{w_{s,T}}{w_s’}$$
$$\mu_{c,s}=\frac{w_{s,s}}{w’_{s,s}}$$
忽略$E_k,E_p$
$$\mu_{c,s}=\frac{h_1-h_2}{h_1-h_2’}$$
$\downarrow$理想气体
$$\mu_{c,s}=\frac{T_1-T_2}{T_1-T_2’}$$
5.4.5 叶轮式
$$\mu_{c,s}=\frac{w_{cs}}{w_c’}=定值比热容=\frac{T_{2s}-T_1}{T_2’-T_1}$$
6. 传热机理与传热速率方程
6.1 傅里叶定律
6.1.1 传热：
- 导热：连续介质
- 对流：接触表面与流体
- 辐射
6.1.2 温度场
- 三维：$t=f(x,y,z,\tau)$， 等温面
- 一维：$t=f(x)$，等温域
6.1.3 温度梯度
$$grad t=\frac{\alpha t}{\alpha n}\vec{n}=\frac{\alpha t}{\alpha x}\vec{i}+\frac{\alpha t}{\alpha y}\vec{j}+\frac{\alpha t}{\alpha z}\vec{k}$$
6.2 平壁一维导热
6.2.1 热流量$\Phi$
$$\Phi=qA=\lambda A\frac{t_1-t_2}{\delta}=\frac{\lambda}{\delta}A\Delta t$$
$\downarrow \delta\rightarrow 0$
6.2.2 傅里叶定律
$$\Phi=-\lambda A\frac{dt}{dx}$$
$$\vec{q}=\frac{\Phi}{A}=-\lambda\frac{dt}{dx}$$
6.2.3 热流密度$\vec{q}$
W/m2，矢量
6.2.4 导热系数$\lambda$
定义：加热/冷却过程中物体内温度趋于均匀一致的能力 W/(m$\cdot$K)
通常 $\lambda=\lambda_0(1+bt)$
- b：导热系数的温度变化率
6.2.5 材料热物性
- 热力学性质：$\rho,c$
- 输运性质：$\lambda$
6.2.6 热扩散率a
$$a=\frac{\lambda}{\rho c}$$
单位体积内储存热量能力的大小，m2/s
6.3 对流换热
- 存在温差，绝对流体宏移，冷热场互相渗透而导致热量迁移
- =导热+热对流
- 非基本方式
- 分类
- 强迫对流
- 自然对流
- 对流换热的表面传热系数$h$，W/(m$^2\cdot$K)
$$\Phi=hA(t_w-t_f)$$
6.4 热辐射
定义：物质内部同微观粒子热运动而激发出来的电磁波能量
黑体
斯忒藩-波尔兹曼定律：$$q_b=\sigma T^4_b$$
- 黑体辐射常数：$\sigma$， 5.67$\times 10^{-8}W/m^2\cdot K^4$
实际
$$q=\varepsilon\sigma T^4$$
- $\varepsilon$：发射率，黑度
投射辐射
$\Phi_{abs}=AG\alpha$
- 吸收比：$\alpha$，黑体=100%
6.5 辐射热交换
净交换量=0$\Rightarrow$辐射热平衡
净辐射热流密度
$$q=\varepsilon\sigma(T^4_w-T^4_{sur})$$
6.6 复合换热/综合换热
$$\Phi=辐射+对流=\Phi_r+\Phi_c=A\varepsilon\sigma (T^4_w-T^4_{sur})+h_cA(T_w-T_f)$$
$$=(h_r+h_c)A(T_w-T_f)=hA(T_w-T_f)$$
- 辐射表面传热系数：$h_r=\frac{\varepsilon\sigma(T^4_w-T^4_{sur})}{T_w-T_f}$
- 复合换热表面传热系数：$h$
7. 稳态导热
7.1 稳态导热微分方程
$$\frac{\partial t}{\partial \tau}=a(\frac{\partial^2 t}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 t}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 t}{\partial z^2})+\frac{\dot{\Phi_v}}{\rho_c}$$
a：热扩散率，导温系数，m2/s
$\Phi_v$：体内热源功率，N/m3
特点
常数性：三维有内热源的稳态导热，$\frac{\alpha t}{\alpha t}=0$
$$\nabla^2t+\frac{\Phi^2_v}{\lambda}=0$$
常物性：三维无内热源，$\nabla^2 t=0$
需要单值性条件（特解）
- 几何条件
- 物理条件
- 时间条件（非稳态）
- 边界条件
7.2 边界条件
7.2.1 第一类边界条件
$\tau>0$，$t_w=f(x,y,z,\tau)$
- 若$t_w=0\Rightarrow$恒壁温边界条件
7.2.2 第二类边界条件
$\tau>0$，$q_w=-\lambda\frac{\alpha t}{\alpha n}|_w=f(x,y,z,\tau)$
若$q_w=c\Rightarrow$恒热流边界条件
若$q_w=0\Rightarrow$绝热边界条件
7.2.3 第三类边界条件（对流边界条件）
给出流体t，h
$$-\lambda\frac{\partial t}{\partial n}|_w=h(t_w-t_f)$$
7.3 热阻
7.3.1 平壁导热热阻
$\Phi=-\lambda A\frac{dt}{dx}$
积分
$$\Phi=\lambda A\frac{t_{w1}-t_{w2}}{\delta}=\frac{t_{w1}-t_{w2}}{\frac{\delta}{\lambda A}}$$
$$R_\lambda=\frac{\delta}{\lambda A}$$
7.3.2 对流换热热阻
$$\Phi=\frac{t_w-t_f}{\frac{1}{hA}}$$
$$R_c=\frac{1}{hA}$$
7.3.3 表面辐射换热当量热阻
$$R_{rad}=\frac{1}{h_rA}$$
7.4 传热过程
定义：从一侧流体经壁面传到另一侧流体
$$\Phi=\frac{t_{f1}-t_{w1}}{\frac{1}{h_1A}}=\frac{t_{f1}-t_{w1}}{\frac{1}{h_1A}}=\frac{t_{f1}-t_{f2}}{R_{net}}=kA(t_{f1}-t_{f2})$$
$$R_{net}=\frac{1}{h_1A}+\frac{\sigma}{\lambda A}+\frac{1}{h_2A}$$
- k：总传热系数 W/(m$^2\cdot$K)
7.5 接触热阻
$$R_c=\frac{t_A-t_B}{q}$$
- 材料种类
- 硬度轮廓
- 材料表面粗糙度
- 缝隙中介质
- 接触面正压力
7.6 多层平壁
$$q=\frac{\Delta t}{\frac{\sum R_i}{A}}=\frac{t_{f1}-t_{f2}}{\frac{1}{h_1}+\sum\frac{\delta }{\lambda_i}+\frac{1}{h_2}}$$
7.7 径向一维导热
7.7.1 单层
$$\Phi=-\lambda A\frac{dt}{dr}=\frac{t_{w1}-t_{w2}}{\frac{1}{2\pi\lambda L}In(\frac{r_2}{r_1})}$$
$$q_L=\frac{t_{w1}-t_{w2}}{\frac{1}{2\pi\lambda}In(\frac{r_2}{r_1})}$$
7.7.2 多层
$$\Phi=\frac{t_{f1}-t_{f2}}{\frac{1}{h_1\pi d_1L}+\sum\frac{1}{2\pi\lambda_iL}In(\frac{r_2}{r_1})+\frac{1}{h_2\pi d_{n+1}L}}$$
7.7.3 球壳
$$\Phi=\frac{t_{w1}-t_{w2}}{\frac{1}{2\pi\lambda L}In(\frac{r_2}{r_1})}$$,$$$$
7.8 肋的导热传热
7.8.1 过余温度：$\theta=t-t_f$
7.8.2 任意处温度
$$\theta_b=\frac{cosh[m(l-x)]}{cosh(ml)}$$
$$\theta_L=\frac{\theta_b}{coshml}$$
$$cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$
7.8.3 全肋散热量=肋基导入热量
$$\Phi=-\lambda A\frac{d\theta}{dx}|_{x=0}=\lambda A\theta_btanh(ml)=\frac{hP}{m}\theta_btanh(ml)$$
$$tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$
7.9 肋高修正
$$L’=L+\frac{\delta }{2}/\frac{d}{4}$$
7.10 肋效率
$$\mu_t=\frac{\Phi}{\Phi_t}=\frac{hA_f\theta_m}{hA_f\theta_b}=\frac{(t-t_f)m}{t_b-t_f}=\frac{\theta_m}{\theta_l}$$
$$\Phi_t=hA_b\theta_b+hnA_f\theta_m=hA_b\theta_b+hnA_f\mu_t\theta_m=hA_t\mu_0\theta_b$$
- n个肋面
- $A_t=A_b+A_f$
- 肋面总效率：$\mu_0=\frac{\Phi}{hA_t\theta_b}=\frac{A_b+nA_f\mu_f}{A_t}$
$$\Phi=\frac{t_{fi}-t_{fo}}{\frac{1}{h_iA_i}+\frac{\delta}{\lambda A_i}+\frac{1}{h_0A_t\mu_0}}=k_iA_i(t_{fi}-t_{f0})=k_0A_t(t_{fi}-t_{f0})$$
$k_i$：无肋的光表面面积$A_i$的总传热系数
$$k_i=(\frac{1}{h_i}+\frac{\delta }{\lambda}+\frac{A_i}{h_0A_t\mu_0})^{-1}=(\frac{1}{h_i}+\frac{\delta }{\lambda}+\frac{1}{h_0\mu_0\beta})^{-1}$$
- $\beta=\frac{A_t}{A_i}$：肋化系数
$k_0$：有肋侧的总表面积$A_0$的总传热系数
$$k_0=(\frac{A_t}{h_iA_i}+\frac{\delta A_t}{\lambda A_i}+\frac{A_t}{h_0A_t\mu_0})^{-1}=(\frac{1}{h_i/\beta}+\frac{\delta }{\lambda/\beta}+\frac{1}{h_0\mu_0})^{-1}$$
8. 非稳态导热
瞬态导热和周期性导热
8.1 集总参数法
温度场只是时间的函数，与几何位置无关（0维问题）$t=f(\tau)$
能量平衡：$-\rho c V\frac{dt}{d\tau}=hA(t-t_f)$
过余温度：$-\rho c V\frac{d\theta}{d\tau}=hA\theta$
$$\frac{\theta}{\theta_0}=\frac{t-t_f}{t_0-t_f}=e^{-\frac{hA}{\rho c V}\tau}$$
- 量纲：$\frac{hA}{\rho c V}=\frac{W}{J}=\frac{1}{S}$
- 时间常数：$\tau_c=\frac{\rho V c}{hA}$，描述温度响应
- 温度响应：描述导热问题对外界温度瞬间变化做反应
- $\tau=-\tau_0In\frac{\theta}{\theta_0}$
- $\theta=\theta_0\times 36.8\%$
8.2 毕渥数
定义：物体内的导热热阻与外部对流换热热阻相对大小
$$Bi=\frac{L_c/\lambda}{1/h}=\frac{hL_c}{\lambda}<0.1$$
可用集总参数法
8.3 非稳态热量
$$\Phi=-\rho c V\frac{d\theta}{d\tau}=hA\theta_0exp(-\frac{hA}{\rho cV}\tau)$$
9. 单相对流换热
9.1 传热系数
9.1.1 表面传热系数$q_x$
$$q_x=h_x(t_w-t_f)=-\lambda(\frac{\alpha t}{\alpha y})_{y=0,x}$$
9.1.2 局部传热系数$h_x$
$$h_x=-\frac{\lambda}{\Delta t_x}(\frac{\alpha t}{\alpha y})_{y=0,x}$$
9.1.3 平均表面传热系数
$$h=\frac{1}{h}\int_A h_x dA_x$$
9.2 流动定义
9.2.1 流动起因
- 自然对流
- 受迫对流
9.2.2 流动状态
- 层流
- 紊流
9.2.3 相变判断
$$h_{相变}>h_{单相}$$
9.2.4 热物理性质
| $\lambda$ | W/(mK) | 导热系数 | $\uparrow$ | h$\uparrow$ |
|---|---|---|---|---|
| $\rho$ | kg/m3 | 密度 | $\uparrow$ | h$\uparrow$ |
| c | J/(kg K) | 比热容 | $\uparrow$ | h$\uparrow$ |
| $\mu$ | Ns/m2 | 动力粘度 | $\uparrow$ | h$\downarrow$ |
| $v=\frac{\mu}{\rho}$ | m2/s | 运动粘度 | ||
| $\alpha$ | 1/K | 体积膨胀系数 | $\uparrow$ | 自然对流换热$\uparrow$ |
- 定性温度
- 流体平均温度
- 外部流动：$t_m=\frac{t_w+t_f}{2}$
- 管内换热：$t_m=\frac{t_{in}+t_{out}}{2}$
- 单向温度
- 流体和壁面的算数平均
- 流体平均温度
9.3 普朗特数
定义：表流体扩散动量的能力与扩散热量能力的相对大小
$$P_\sigma=\frac{v}{a}$$
9.4 边界层
9.4.1 壁面
$t|_{y=0}=t_w$
9.4.2 流体的过余温度比
$$\frac{t_w-t}{t_w-t_f}=0.9t$$的高壁距离$\rightarrow$热边界层厚度
- 流场
- 热边界层
- 近似等温流动区
9.5 努塞尔数
定义：代表流体在壁面上的无量纲温度梯度，对流换热表面传热系数的无量纲表示
$$Nu=f(Re,Pr)$$
$Nu_x=\frac{h_xX}{\lambda}=\frac{\alpha \theta}{\alpha Y}|_{Y=0,X}$
雷诺数：$Re_x=\frac{u_\infty x}{v}$
临界雷诺数：
9.5.1 恒壁温
- 某处努塞尔
| 层流 | $Re_x<5\times 10^5$, $0.6\le Pr\le 15$ | $Nu_x=0.332Re_x^{\frac{1}{2}}Pr^{\frac{1}{3}}$ |
|---|---|---|
| 紊流 | $5\times 10^5<Re_x$ | $Nu_x=0.0296Re_x^{\frac{4}{5}}Pr^{1}{3}$ |
平均
层流：$Nu_L=\frac{hL}{\lambda}=0.664Re_L^{\frac{1}{2}}Pr^{\frac{1}{3}}$
紊流
全段：$Nu_L=\frac{hL}{\lambda}=0.037Re_L^{0.8}Pr^{\frac{1}{3}}$
非全段：
$h=\frac{1}{L}(\int_0^{x_c}h_cdx+\int_{x_c}^Lh_tdx)=\frac{\lambda}{L}[0.332(\frac{u_\infty}{v})^{\frac{1}{2}}\int_0^{x_c}x^{\frac{1}{2}dx}+0.0296(\frac{u_\infty}{v})^{\frac{4}{5}}\int_{x_c}^xx^{-\frac{1}{5}}dx]$
$5\times 10^5<Re$, $Nu_L=\frac{hL}{\lambda}=(0.037Re_L^{0.8}-871)Pr^{\frac{1}{3}}$
9.5.2 恒热流边界
层流：$Nu_x=0.453Re_x^{\frac{1}{2}}Pr^{\frac{1}{3}}$
$Nu_L=0.68Re_L^{\frac{1}{2}}Pr^{\frac{1}{3}}$
湍流：$Nu_x=0.0308Re_x^{\frac{4}{3}}Pr^{\frac{1}{3}}$
9.6 绕流圆柱体对流换热
$t_m=\frac{t_w+t_f}{2}$
$Re=\frac{u_fd}{v}$
$Nu=\frac{hd}{\lambda}$
管子全面平均表面传热系数
管束平均表面传热系数
$$\Delta t_m=\frac{(t_w-t_i)-(t_w-t_0)}{In[(t_w-t_i)/(t_w-t_0)]}$$
$$\Phi=nh\pi d \Delta t_m$$
9.7 管内对流换热
管内流动压降
$$\Delta P=f\frac{L}{d}\frac{\rho u_m^2}{2}$$
层流摩擦系数： $f=\frac{64}{Re}$
管内对流换热计算关联式
9.8 当量直径
$de=\frac{4A_c}{P}$
- 圆管：$de=d$
- 圆环：$de=d_0-d_i$
9.9 自然对流换热
- 格拉晓夫系数：$Gr=\frac{g\alpha_v(t_w-t_\infty)x^3}{v^2}$
- 瑞利数：$Ra=GrPr$
9.10 对流换热强化
主导热阻原理，决定性热阻
途径：
- 改变流体流动状态/边界层状态
- 改变换热表面的几何形状（肋化、粗糙化）
- 改变流体的物性（$\lambda ,c$）
- 外力强化